Cách giải bài toán về cực trị?

Chào các em học sinh! Trong hành trình chinh phục thế giới Toán học, chúng ta thường xuyên bắt gặp những bài toán “vươn tới đỉnh cao” – đó chính là bài toán về cực trị. Vậy cực trị là gì nhỉ? Làm sao để “thuần hóa” được những bài toán tưởng chừng như “khó nhằn” này? Thầy sẽ đồng hành cùng các em khám phá “bí kíp” giải quyết chúng một cách hiệu quả trong bài viết này nhé!

Cực trị là gì?

Trước hết, chúng ta cùng nhau ôn lại xem cực trị là gì đã nhé! Nói một cách dễ hiểu, khi một đại lượng thay đổi, đạt đến một giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất rồi sau đó lại thay đổi theo chiều ngược lại thì giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất đó chính là cực trị. Trong Toán học, chúng ta thường gặp cực trị của hàm số.

Các dạng bài toán cực trị thường gặp

Bài toán về cực trị rất đa dạng, nhưng nhìn chung, chúng ta thường gặp một số dạng bài cơ bản sau:

• Tìm cực trị của hàm số: Đây là dạng bài phổ biến nhất, yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một miền xác định.
• Bài toán cực trị hình học: Dạng bài này liên quan đến việc tìm điểm, đoạn thẳng, hình… có độ dài, diện tích, thể tích… lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
• Bài toán cực trị trong thực tế: Toán học không chỉ là lý thuyết khô khan mà còn được ứng dụng rất nhiều trong đời sống. Các bài toán cực trị trong thực tế giúp ta tìm ra cách thức tối ưu nhất để giải quyết một vấn đề nào đó.

Các bước giải bài toán cực trị

Dù là dạng bài nào, chúng ta đều có thể áp dụng một “lộ trình” chung để giải quyết. Thầy gọi vui đây là “bí kíp” 4 bước “thần thánh” để “thuần hóa” mọi bài toán cực trị:

Bước 1: Xác định đại lượng cần tìm cực trị và miền xác định (điều kiện) của nó.

Đây là bước đầu tiên và vô cùng quan trọng. Chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ ràng đâu là đại lượng cần tìm cực trị (ví dụ: độ dài, diện tích, thể tích…). Đồng thời, cần xác định cả miền xác định của đại lượng đó (ví dụ: trong khoảng nào, trên đoạn nào…).

Bước 2: Lập hàm số biểu thị đại lượng cần tìm cực trị theo một ẩn.

Bước này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về hàm số đã học, biểu diễn đại lượng cần tìm cực trị thành một hàm số theo một ẩn duy nhất.

Bước 3: Khảo sát sự biến thiên của hàm số và tìm cực trị.

Đây là bước “cốt lõi” để tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Chúng ta cần vận dụng các kiến thức về đạo hàm, bảng biến thiên để khảo sát sự biến thiên của hàm số và xác định điểm cực trị.

Bước 4: So sánh các giá trị cực trị và kết luận.

Sau khi đã tìm được các điểm cực trị, ta cần so sánh chúng với nhau và với giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của miền xác định (nếu có) để tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên miền đang xét. Cuối cùng, chúng ta cần trình bày kết luận một cách rõ ràng, đầy đủ.

Ví dụ minh họa

Để các em dễ hình dung hơn về cách áp dụng “bí kíp” này, thầy sẽ đưa ra một ví dụ cụ thể nhé!

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x^3 – 3x^2 + 4 trên đoạn [-1;2].

Lời giải:

Bước 1: Đại lượng cần tìm cực trị là y = x^3 – 3x^2 + 4. Miền xác định là đoạn [-1;2].

Bước 2: Hàm số đã được cho sẵn là y = x^3 – 3x^2 + 4.

Bước 3: Ta có y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x-2).

Cho y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1;2].

Bước 4: Từ bảng biến thiên, ta thấy:

• Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 tại x = -1 và x = 2.
• Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0 tại x = 0.

Kết luận: Vậy trên đoạn [-1;2], hàm số y = x^3 – 3x^2 + 4 đạt giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 0.

Lời kết

Vậy là thầy đã chia sẻ xong “bí kíp” giải bài toán về cực trị rồi đấy! Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em tự tin hơn trong hành trình chinh phục những “đỉnh cao” Toán học. Hãy nhớ rèn luyện thường xuyên bằng cách giải thật nhiều bài tập để “bí kíp” này thêm phần hiệu nghiệm nhé!

Các em còn thắc mắc gì về bài toán cực trị, hãy để lại bình luận phía dưới để cùng thầy giải đáp nhé! Đừng quên chia sẻ bài viết này đến bạn bè để cùng nhau học tập tiến bộ nhé!